Question

Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 100 по кругу так, чтобы сумма любых трех подряд идущих чисел была простым числом?

Answer 1

Нельзя.

Сумма трех натуральных чисел не меньше трёх, чтобы она была простым числом, она должна быть как минимум нечетной - все простые числа, большие двух, нечетные.

Рассмотрим суммы соседних троек: a + b + c, b + c + d. Так как обе суммы нечётны, то a и d должны быть одинаковой чётности (дальше я это буду записывать в виде a = d). Значит, все числа, между которыми стоят два каких-то числа, должны быть одинаковой чётности.

1-е число = 4-е = 7-е = ... = 100-е = 3-е = 6-е = 9-е = ... = 99-е = 2-е = 5-е = 8-е = ... = 98-е = 1-е (например, между 100-м и 3-м числами стоят два числа: первое и второе).

Итак, получилось, что все сто чисел должны быть одинаковой чётности. Для последовательных натуральных чисел от 1 до 100 это, разумеется, неверно, поэтому их расставить по кругу так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числом, не получится.