Question

множество чисел 1, 2,3, ..., 1974,1975 разбиты на две групи.До первой группе отнесли все числа с нечетным суммой цифр, а ко второй-с парною.Що больше: сумма всех чисел первой группы или сумма всех чисел второй группы

Answer 1

Пусть $A=left { 0,1,2,3...1974,1975 right }$ (можно считать, что это данная множество чисел, потому включив в нее 0, не изменится ответ к вопросу, $B =left { 0,1,2,3,...,1974,1975,1976,...,1998,1999 right }$

Докажем, что когда В разбить на две группы так, как это требует условие задачи, то сумма всех чисел одной группы будет равна сумме всех чисел второй. 

Все числа с множеств В имеют вид $overline{pqab}$, где р - равно нулю или 1, а цифры q, a ,b могут быть произвольными. Разобьем множество В на две подмножества Н и K, включив до Н все числа из В с нечетным суммой цифр, а в K - с четным. 

Обозанчим через $sum_H$ и $sum_K$ суммы чисел соотвественно с Н и К. Докажем, что $sum_H=sum_K$
Для этого, подадим $sum_H$ как сумму $sum_H'+sum_H''$
где, $sum_H'$ - сумма чисел $overline{pqab}$, в которой (a+b) нечетное число( поэтому (p+q) - четное число), а $sum_H''-$ сумма чисел $overline{pqab}$, в которой (a+b) - четное число ( отсюда (p+q) - нечетное число). Аналогично  сделаем это суммой $sum_K$, положив
$sum_K=sum_K'+sum_K''$, где $sum_K'(sum_K'')-$ сумма чисел $overline{pqab}$, в которых и (a+b) и (p+q) - нечетные( соотвественно, и (a+b), и (p+q) - четные числа). Тогда $sum_H-sum_K=(sum_H'-sum_K')+(sum''_H-sum_K'')$
Где виражение $sum'_H-sum'_K$ содержит только те числа $overline{pqab}$, в которых (a+b) - нечетное, а выражение 
$sum''_H-sum''_K$ -только те числа $overline{pqab}$, в которых (a+b) - четное.

ПОкажем что $sum'_H-sum_K'=0$. Зафиксируем цифры a и b и рассмотрим в суммах $sum'_H$ и $sum_K'$ слагаемых, запись которых заканчивается этимы цифрами. Они имееют соответсвенно вид $overline{p_1q_1ab}$ где $p_1+q_1-$ четное, и $overline{p_2q_2ab}$, где $q_2+p_2-$ нечетное,причем таких слагаемых в суммах $sum'_H$ и $sum'_K$ содержится поровну. 

Для них имеем $overline{p_1q_1ab}-overline{p_2q_2ab}=100(p_1q_1-p_2q_2)$. 
Обозначим через $M_1$ (соотвественно через $M_2$)
сумму всех чисел $overline{pq}$, где 
$p in left { 0;1 right },qin left { 0;1;...;9 right }$ и (p+q) - четное(соотвественно нечетное)
Поскольку$M_1=M_2$, то сумма всех разностей равен 
$100(M_1-M_2)$. Это правильно  для произвольных a и b, 

Итак, $sum_H'-sum_K'=0$


Аналогично, получим, что $sum_H''-sum_K''=0$.

Теперь вернемся к множествам А.

Пусть $S_H$ и $S_K$ - суммы чисел, которые пренадлежат к А, и имеют соотвественно четную и нечетную суммы цифр. Поскольку,
$B=Acup left { 1976,...,1999 right },$ то имеем
$sum_K=S_K+1997+1979+1980+1982+1894+1986+1988+1991+ \ +1993+1995+1997+199,$

$sum_H=S_H+1976+1978+1981+1983+1985+1987+1989+ \ +1989+1990+1992+1994+1996+1998$

Отсюда, $sum_K-sum_H=S_K-S_H+2$ и тогда
$sum_K+2=S_H$, потому что $sum_K=sum_H$

Ответ: 2.