Question

Методом математической индукции докажите
1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1)
2) $displaystyle S_n=frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}$формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;
3) формулу общего члена геометрической прогрессии
$displaystyle b_n=frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ при $q neq 1$

Answer 1

1)
База индукции: 1

$a_1=a_1+d*0=a_1$ проверено.

Предположим, что утверждение верно для n=k.
$a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d$
Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1.
$a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk$
Так как , следуя предположению $a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d$ то прибавив к данному выражению d. Мы получим  следующий член $a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk$.
Т.е. предположение верно. Ч.Т.Д.

2)
$S_n= frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}$
База : 1
Проверка: $S_1= frac{2a_1}{2}=a_1$. 

Предположение: $n=k Rightarrow S_k= frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}$

Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при $n=k+1$:

Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить  k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее):
$S_{k+1}= frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}+(a_1+dk)= frac{2(a_1+dk)+2a_1k+dk^2-dk}{2}\= frac{2a_1+2dk+2a_1k+dk^2-dk}{2}= frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}\ = frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}= frac{(k+1)(2a_1+dk)}{2}$
т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д.

3)
Это не формула общего члена, это формула суммы.
При 
$q=1$ получается деление на ноль, поэтому сразу пишем $q neq 1$
База: 1
$b_1= frac{b_1(1-q)}{(1-q)}=b_1$
Предположим, что формула верна для: $n=k$
Покажем и докажем что формула верна для $n=k+1$:
Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме.
$b_{k+1}= frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\= frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q}$
Ч.Т.Д.