Question

logx2(2-x)≤1
Помогите пожалуйста решить уравнение.

Answer 1

$log_{x^2}(2-x)leq 1$

ОДЗ для логарифмической функции

$left { {{2-x>0} atop {x^2>0}; x^2neq1} right. ;left { {{x<2} atop {xneq0;xneq}1; xneq-1} right.$

ОДЗ : x ∈ (-∞; -1) ∪ (-1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 2)

$log_{x^2}(2-x)leq 1 \ log_{x^2}(2-x)leq log_{x^2}(x^2) \ log_{x^2}(2-x)- log_{x^2}(x^2) leq 0$

Метод рационализации для логарифмических неравенств.

$log_{x^2}(2-x)- log_{x^2}(x^2) leq 0$    равносильно неравенству

(x² - 1)(2 - x - x²) ≤ 0 при всех допустимых х.

(x² - 1)(2 - x - x²) ≤ 0

(x - 1)(x + 1)(x² + x - 2) ≥ 0

(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 1) ≥ 0

(x - 1)²(x + 1)(x + 2) ≥ 0

Метод интервалов

        ++++++++ [-2] ------------ [-1] ++++++++++ [1] ++++++++++> x

ОДЗ: \\\\\\\\\\\\\\\ (-1) \\\ (0) \\ (1) \\\ (2).............. >x

Ответ: x ∈ (-∞; -2]∪(-1; 0)∪(0; 1)∪(1; 2)