Question

Корни многочлена 4-степени p(x) ,их в данном случае 4,составляют арифмитическую прогрессию причем каждый из этих корней представим в радикалах 2 степени.(это значит что его можно представить при помощи только рац чисел и квадратных корней) докажите что корни многочлена p(x)+a (a-произвольное число )тоже представимы в радикалах 2 степени,если они существуют. при условии что все коэфиценты многочлена представимы в рад 2 степени.

Answer 1

$p(x)=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2+a_{4}x+a_{5}\ x=sqrt{x_{1}}\ x=sqrt{x_{1}}+b\ x=sqrt{x_{1}}+2b\ x=sqrt{x_{1}}+3b\\ p(x)+a=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2 + a_{4}x+a_{5}+a\ y=sqrt{y_{1}}\ y=sqrt{y_{2}}\ y=sqrt{y_{3}}\ y=sqrt{y_{4}}$

По теореме Виета для уравнение четвертой степени получаем соотношение   
$4sqrt{x_{1}}+6b = -frac{a_{2}}{a_{1}}\ sqrt{x_{1}}(sqrt{x_{1}}+b)+sqrt{x_{1}}$$(sqrt{x_{1}}+2b)+sqrt{x_{1}}(sqrt{x_{1}}+3b)+(sqrt{x_{1}}+b)(sqrt{x_{1}}+2b)+...=frac{a_{3}}{a_{1}}\ sqrt{x_{1}}(sqrt{x_{1}}+b)(sqrt{x_{1}}+2b)+sqrt{x_{1}}(sqrt{x_{1}}+2b)$$(sqrt{x_{1}}+3b).........=-frac{a_{4}}{a_{1}} \ sqrt{x_{1}}(sqrt{x_{1}}+b)(sqrt{x_{1}}+2b)$$(sqrt{x_{1}}+3b)=frac{a_{5}}{a_{1}}\\ sqrt{y_{1}}+sqrt{y_{2}}+sqrt{y_{3}}+sqrt{y_{4}}=-frac{a_{2}}{a_{1}}$
sqrt{y_{1}y_{2}}+sqrt{y_{1}y_{3}}+sqrt{y_{1}y_{4}}+sqrt{y_{2}y_{3}}...+ = frac{a_{3}}{a_{1}} \ sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}}+sqrt{y_{1}y_{2}y_{4}} [/tex]        

$left { {{4sqrt{x_{1}}+6b=sqrt{y_{1}}+sqrt{y_{2}}+sqrt{y_{3}}+sqrt{y_{4}} } atop {sqrt{x_{1}}(sqrt{x_{1}}+b)(sqrt{x_{1}}+2b)(sqrt{x_{1}}+3b)-sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}}=a} right.$
Учитывая условия что коэффициенты все выражаются в радикалах , то  сумма всех корней выраженные в радикалах есть число радикальное . 
  По третьем  равенству первой системы  $sqrt{x_{1}x_{2}x_{3}}=Rad$  , то произведение корней так же число радикальное , откуда с последних двух идет верное равенство