Question

Камень бросили вертикально вверх со скоростью 5 мс .На какую максимальную высоту он поднимается?

Answer 1

Моделируем камень точечной массой (точкой). Введём систему координат на плоскости с центром в точке-камне перед моментом броска. Ось y направлена вертикально вверх, ось x — ортогональна y в плоскости движения. Моменту броска присвоим время t=0.

 

Запишем ускорения точки (движение в поле силы тяжести):

 

$ddot{x} = 0, ; ddot{y} = -g$

 

Интегрируя, получим:

 

$dot{x} = int ddot{x} dt = A<var>$

 

$x = int dot{x} dt = A t + B<var></var>$

 

$dot{y} = int ddot{y} dt = - g cdot t + C<var></var>$

 

$y = int dot{y} dt = - g cdot frac{1}{2} t^2 + Ct + D</var>$

 

Начальные условия:

 

$dot{x}|_{t=0} = 0, ; dot{y}|_{t=0} = v_0$

 

$x|_{t=0} = 0, ; y}_{t=0} = 0$

 

Отсюда:

 

 $A = 0, ; B = 0, ; D = 0$

 

$C = v_0$

 

$x = 0$

 

$dot{y} = - g cdot t + <var>v_0$

 

$x = 0$

 

$dot{x} = 0$

 

$x = 0$

 

$dot{y} = - g cdot t <var>v_0$

 

$y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t</var>" title="dot{y} = - g cdot t + <var>v_0" /></var></p> <p> </p> <p><var>[tex]y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t</var>" alt="dot{y} = - g cdot t + <var>v_0" /></var></p> <p> </p> <p><var>[tex]y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t</var>" /></p> <p> </p> <p>Найдём экстремумы для <var>[tex]y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t</var>$, приравняв $dot{y} = 0$:

 

$- g cdot t + <var>v_0</var></var> = 0 ; Rightarrow ; t^{*} = frac{v_0}{g}$

 

Поскольку $ddot{y} < 0$, то полученный экстемум является максимумом для $y(t)$.

 

Наибольшая координата y, достигаемая при моменте времени t*, и будет искомой высотой:

 

$y_{max} = - g cdot frac{1}{2} left(t^{*}}right)^2 + v_0 t^{*} = - g cdot frac{1}{2} left({frac{v_0}{g}}right)^2 + v_0 frac{v_0}{g}$

 

Принимая $g = 10$ м/с² и имея по условию $v_0 = 5$ м/с, получим:

 

$</var>y_{max} = - frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} + frac{{v_0}^2}{g} = frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} = frac{1}{2} cdot {frac{{5}^2}{10}} = frac{25}{20} = 1.25<var>$ м.

 

Ответ: 1,25 м.