Question

Какой угол составляет касательная к графику функции y=x^2+3x+4 в точке с абсциссой x0=-2,с положительным направлением оси OX?​

Answer 1

$y = x^{2} + 3x + 4$

Найдем уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой $x_{0} = -2$

Для этого найдем производную данной функции:

$y' = (x^{2} + 3x + 4)' = 2x + 3$

Найдем значение функции в точке с абсциссой $x_{0} = -2$:

$y(-2) = (-2)^{2} + 3 cdot (-2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$

Найдем значение производной данной функции в точке с абсциссой $x_{0} = -2$:

$y'(-2) = 2 cdot (-2)+ 3 = -4 + 3 = -1$

Уравнение касательной имеет вид:

$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$

Подставим значение $f'(x_{0}) = -1, f(x_{0}) = 2, x_{0} = -2$

$y = -(x + 2) + 2 = -x - 2 + 2 = -x$

Итак, уравнение касательной заданной функции: $y = -x$

Воспользуемся геометрическим смыслом касательной: коэффициент наклона $k$ касательной $y = kx + b$ численно равен тангенсу угла наклона $text{tg} alpha$  с положительным направлением оси $Ox$

В найденной касательной коэффициент $k = -1$, следовательно, $text{tg} alpha = -1$ при $alpha = 135^{circ}$ или $alpha = dfrac{3pi }{4}$

Ответ: $alpha = 135^{circ}$ или $alpha = dfrac{3pi }{4}$

Answer 2

Можно было учесть то, что геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀, а коэффициент наклона k касательной численно равен тангенсу угла наклона с положительным направлением оси Ox, то есть k = f'(x₀) = tg(α).
Получаем: y'(-2) = -1 ⇒ k = -1 ⇒ tg(α) = -1 ⇒ α = 135°.