Question

Как вычислить сумму 1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)+...+n*(n+1)

Answer 1

$S_n = frac{a_1 + a_n}{2} cdot n \ a_n = n(n+1) \ a_1=2 \ S_n=frac{2+n(n+1)}{2}cdot n = frac{2+n^2+n}{2} cdot n = frac{n^3+n^2+2n}{2}$

Answer 2

Ответ неправильный

Answer 3

Перемножим скобки и сгруппируем слагаемые так, чтобы получить арифметическую или что-нибудь еще

$1cdot (1+1)+2cdot (2+1)+3cdot(3+1)+...+ncdot(n+1)=1+1+4+2+\ \+9+3+...+n^2+n=(1+2+3+...+n)+(1+4+9+...+n^2)~boxed{=}$

Последовательность $1+2+3+...+n$ представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом $a=1$ и разностью $d=1$, а последовательность $1+4+9+...+n^2$ имеет равенство(по формуле суммы квадратов n первых квадратов натуральных чисел)

$1+4+9+...+n^2= dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
(Эта формула доказывается методом математической индукции).


Окончательно имеем, что


$boxed{=}~ dfrac{2+(n-1)cdot 1}{2}cdot n+dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = dfrac{n^2+n}{2}+ dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \ \ \= dfrac{(n+1)(3n+2n^2+n)}{6}= dfrac{(n+1)(2n^2+4n)}{6}= dfrac{2n(n+1)(n+2)}{6}$

Answer 4

Пожалуйста докажите сумму n первых квадратов натуральных чисел

Answer 5

Почему сумма арифметической прогрессии здесь сталь ((2+(n-1)*1)/2)*n

Answer 6

(2a1+(n-1)d)*n/2 эта сама формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Answer 7

Спасибо