Question

Как решить

tgx(ctgx-cosx)=2sinx^2

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\pi }{6} +2\pi k, ~k\in\mathbb {Z}; \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n,~n\in\mathbb {Z}$

Пошаговое объяснение:

Решить уравнение

$tgx(ctgx-cosx)=2sin^{2} x$

Воспользуемся формулами

$tgx=\dfrac{sinx}{cosx} ;\\\\ctgx=\dfrac{cosx}{sinx}$

$tgx\cdot ctgx=1$

Тогда ОДЗ уравнениея: $sinx\neq 0;cosx\neq 0$

Преобразуем левую часть уравнения

$tgx(ctgx-cosx)=2sin^{2} x;\\tgx\cdot ctgx -\dfrac{sinx}{cosx } \cdot cosx=2sin^{2} x;\\\\1-sinx=2sin^{2} x;\\2sin^{2} x+sinx-1=0$

Пусть $sinx=t, |t|\leq 1.$

Тогда уравнение принимает вид:

$2t^{2} +t-1=0;\\D= 1^{2} -4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9=3^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{-1-3}{2\cdot4} =-\dfrac{4}{4} =-1;\\\\t{_2}= \dfrac{-1+3}{2\cdot2} =\dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2} .$

Если  $sin x=-1,$  то  $cosx=0$   - не удовлетворяет ОДЗ.

Тогда

$sinx= \dfrac{1}{2}$

$\left [\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{6} +2\pi k, ~k\in\mathbb {Z}\\\\ x = \dfrac{5\pi }{6}+2\pi n,~n\in\mathbb {Z} \end{array} \right.$