Question

к какой части речи относятся пары данных слов По-моему-по моему мнению

Answer 1

часть речи наречие.

Answer 2

по - моему - предлог ПО и падежная форма местоимения МОЙ, которое указывает на признак предмета по принадлежности.
по моему мнению - здесь сохраняется признак предмета по принадлежности, поэтому входит в разряд притяжательных местоимений и пишется раздельно.