Question

Известно, что при некоторых натуральных a,b
число $N= frac{a^{2} + b^{2} }{ab-1}$- тоже натуральное
найдите все значения N

Answer 1

Натуральные числа - это числа начиная с 1, получаемые при счете, т.е положительные и целые.

Пусть a₀ и b₀ - этозначения, которые соответствуют наименьшему значению выражения a²+b².
Будем считать что a₀>b₀ (можно взять наоборот, тогда дальше в решении надо просто поменять буквы местами).
Если b₀=1 (так как минимальное значение натурального ряда чисел равно 1), то:
$N= frac{ a^{2} +1}{a-1}$
значит а=2 или а=3, т.к. в остальных случаях N не является натуральным (значения выражения будут дроби).
При а=2 и а=3 N=5.

Пусть b₀>1, тогда:
N(ab₀-1)=a²+b²
ab₀N-N-a²-b₀²=0
a²-ab₀N+b₀²+N=0
Первым корнем этого уравнения будет а₀
Согласно теореме Виета второй корень уравнения равен а₁=b₀N-a₀ и он тоже является положительным и целым числом.
Из минимальности выражения а²+b² следует, что а₁>a₀.
Значит (а₁-1)(a₀-1)≥b₀(b₀+1) и (а₁-1)(a₀-1)=a₁a₀-(a₁+a₀)+1=b₀²+N-b₀N+1
Получается что b₀²+N-b₀N+1≥b₀(b₀+1).
Это неравенство невозможно при b₀>1.

Исходя из решения следует, что единственное значение N, которое является натуральным числом, при натуральных значениях а=2 и  b=1 это 5.

Answer 2

(а₁-1)(a₀-1)≥b₀(b₀+1) откуда ты это получил?