Question

Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл

Answer 1

Решение.

$\displaystyle \int\limits_{-2}^2\, dx\int\limits_{-\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{4-x^2}}^{\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{4-x^2}}\, dy$

Область, по которой ведётся интегрирование - это эллипс с центром в точке (0,0) , большой полуосью a=2 и малой полуосью b=√2 . Действительно,

$y=\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot \sqrt{4-x^2}\ \ \Rightarrow \ \ \ y^2=\dfrac{4-x^2}{2}\ \ ,\ \ 2y^2=4-x^2\ \ ,\ \ x^2+2y^2=4\ \Big|:4\ \Rightarrow$

$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$   - эллипс  , центр (0,0) , а=2 , b=√2 .

Выразим переменную х .

$\dfrac{x^2}{4}=1-\dfrac{y^2}{2}\ \ ,\ \ x^2=4\cdot \dfrac{2-y^2}{2}\ \ ,\ \ x^2=2(2-y^2)\ \ ,\ \ x^2=4-2y^2\ ,\\\\x=\pm \sqrt{4-2y^2}$  

Получили уравнения правой и левой половинок эллипса .

Поменяем порядок интегрирования .

$\displaystyle \int\limits_{-2}^2\, dx\int\limits_{-\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{4-x^2}}^{\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{4-x^2}}\, dy=\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, dy\int\limits_{-\sqrt{4-2y^2}}^{\sqrt{4-2y^2}}\, dx=\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, (\sqrt{4-2y^2}+\sqrt{4-2y^2})\, dy=$

$\displaystyle =2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt{4-2y^2}\, dy=2\sqrt2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt{2-y^2}\, dy=\\\\\\\bullet \int \sqrt{2-y^2}\, dy=\Big[\ y=\sqrt2\, sint\ ,\ sint=\frac{y}{\sqrt2}\ ,\ t=arcsin\frac{y}{\sqrt2}\ ,\\\\\\dy=\sqrt2\, cost\, dt\ \Big]=\int \sqrt{2-2sin^2t}\cdot \sqrt2\, cost\, dt=2\cdot \int \sqrt{1-sin^2t}\cdot cost\, dt=\\\\\\=2\int \sqrt{cos^2t}\cdot cost\, dt=2\int cost\cdot cost\, dt=2\int cos^2t\, dt=2\int \frac{1+cost}{2}\, dt=$

$\displaystyle =\int dt+\int cost\, dt=t+sint+C=arcsin\frac{y}{\sqrt2}+\frac{y}{\sqrt2}+C\ \ \bullet$

$\displaystyle =2\sqrt2\cdot \Big(arcsin\frac{y}{\sqrt2}+\frac{y}{\sqrt2}\Big)\Big|_{-\sqrt2}^{\sqrt2}=\\\\\\=2\sqrt2\cdot \Big(arcsin\frac{\sqrt2}{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{\sqrt2}-arcsin\frac{-\sqrt2}{\sqrt2}-\frac{-\sqrt2}{\sqrt2}\Big)=\\\\\\=2\sqrt2\cdot \Big(arcsin1+1+arcsin1+1\Big)=2\sqrt2\cdot (2arcsin1+2)=\\\\\\=2\sqrt2\cdot (2\cdot \frac{\pi }{2}+2)=2\sqrt2\cdot (\pi +2)$