Question

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы f (x) = 2x – ln x

Answer 1

f(x) = 2x – ln x

ОДЗ: х>0

f'(x) = 2 – 1/x

f'(x) = 0

2 – 1/x = 0

2х = 1

х = 0,5

разбиваем область определения функции f(x) на интервалы и определяем знак производной f'(x) в этих интервалах

       -                    +

0 ---------- 0,5 -------------

f'(0,25) = 2-1/0,25 = 2-4 = -2   f'(x)<0   ⇒  f(x)  убывает

f'(1) = 2-1/1 = 2-1 = 1   f'(x)>0   ⇒  f(x)  возрастает

Итак, при х∈(0; 0,5]  f(x)  убывает

         при х ∈[ 0,5; +∞) f(x) возрастает

В точке х = 0,5 производная меняет знак с - на + , следовательно, это точка минимума.

уmin = у(0,5) = 2·0,5 – ln 0,5 ≈ 1 - 0,693 ≈ 0,307

 

 

 

Answer 2

$\f(x)=2x-ln x\ x>0\ f'(x)=2-frac{1}{x}\ 2-frac{1}{x}=0\ frac{1}{x}=2\ 2x=1\ x=frac{1}{2}$

 

при x∈(0,1/2) f'(x)<0 ⇒ функция убывает

при x∈(1/2,∞) f'(x)>0 ⇒ функция возрастает

в точке 1/2 находится минимум

 

$\f_{min}(x)=2cdotfrac{1}{2}-ln frac{1}{2}\ f_{min}(x)=1-(ln 1-ln2)\ f_{min}(x)=1-(-ln2)\ f_{min}(x)=1+ln2$