Question

 Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) 

и построить ее график.

$f(x)=frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)$ 

График можно не строить, главное расписать какие точки брать.

Заранее спасибо! 

 

Answer 1

1) Найдем нулю нашей функции. Для чего разложим на множители формулу, которой она задана, с помощью введения новых вспомогательных членов.

    $f(x)=frac{1}{3}(x^{3}-4x^{2}-4x^{2}+4x+x+16-2)=$ $=frac{1}{3}((x^{3}-4x^{2}+4x)-(4x^{2}-16)+(x-2))=$ $=frac{1}{3}[x(x-2)^{2}-4(x-2)(x+2)+(x-2)]=$ $=frac{1}{3}(x-2)(x(x-2)-4(x+2)+1)=frac{1}{3}(x-2)(x^{2}-6x-7)$ 

 Из $f(x)=0$ следует:

    а)  $x-2=0$, отсюда $x_{1}=2$ - нуль функции

    б) $x^{2}-6x-7=0$, $D=(-6)^{2}-4*(-7)=36+28=64$, отсюда

   $x_{2}=frac{6+8}{2}=7$, $x_{3}=frac{6-8}{2}=-1$ - нули функции

 

Итак, функция $f(x)$ обращается в нуль в точках $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$ 

 

2) Найдем возможные точки экстремума нашей функции. Для чего найдем производную функции $f(x)$:

 $f^{'}(x)=frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)^{'}_{x}=frac{1}{3}(3x^{2}-16x+5)$-----(1) 

  Разложим квадратный трехчлен, стоящий в правой части (1), на целые множители. Для чего найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:     

   $D=256-12*5=256-60=196=14^{2}$, отсюда найдем корни:

     $x^{'}_{1}=frac{16+14}{6}=5$

    $x^{'}_{2}=frac{16-14}{6}=frac{1}{3}$  ---------(2)

Тогда с (2) выражение (1) примет вид: 

 $f^{'}(x)=frac{1}{3}*3*(x-5)(x-frac{1}{3})$----------(3)

  C помощью метода интервалов найдем промежутки, на которых производная функции $f(x)$ принимает положительные и отрицательные значения:

   

а) $f^{'}(x)>0$  при x принадлежащем объединению промежутков

  (-бесконечности; 1/3)U(5; +бесконечности ) 

б) $f^{'}(x)<0$  при x принадлежащем промежутку (1/3; 5)

 

Известно, что промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции!

На промежутках, где $f^{'}(x)<0$, функция убывает!       

  

Поскольку при переходе через точку x=1/3 производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка - точка максимума

 Поскольку при переходе через точку x=5 производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка - точка минимума. Итак,

      $x_{max}=frac{1}{3}$ 

       $x_{min}=5$