Question

Исследовать на экстремум функцию:
y=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x-1/3
Определить точку перегиба и построить график функции.

Answer 1

$y=frac{1}3*x^3+frac{1}2*x^2-2x-frac{1}3$

Чтобы найти экстремум функции, нужно сначала найти ее производную, и исследовать ее.

$y'=x^2+x-2$

$y'=0$

$x^2+x-2=0$

$D=1+8=9$

$x_1=frac{-1+3}2=1$

$x_2=frac{-1-3}2=-2$

Далее см. рисунок номер 1.

И того: x=1 - точка минимума.
x=-2 - точка максимума.

Чтобы найти точки перегиба нужно найти 2-ю производную и исследовать ее график.

$y''=(y')'=(x^2+x-2)'=2x+1$

$y''=0$

$2x+1=0$

$x=-frac{1}2$  абсцисса точки перегиба.

$y(-frac{1}2)=-frac{1}3*frac{1}8+frac{1}2*frac{1}4+frac{2}2-frac{1}3=-frac{1}{24}+frac{1}8+frac{4}4-frac{1}3=frac{-1+3+24-8}{24}=frac{3}4$

И того: точка перегиба:   $(frac{1}2;frac{3}4)$

Далее см. рисунок номер 2. (сам график)