Question

интегралы, снизу конечный ответ

Answer 1

$intlimits dfrac{dx}{3x^2-2x-1}$

Разложим знаменатель на множители:

$3x^2-2x-1=0$

Сумма коэффициентов равна нулю, значит корни уравнения 1 и -1/3.

Интеграл примет вид:

$intlimits dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=intlimits dfrac{dx}{3left(x-1right)left(x+dfrac{1}{3}right)}=intlimits dfrac{dx}{(x-1)(3x+1)}$

Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на составляющие:

$dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}=dfrac{A}{x-1}+dfrac{B}{3x+1}=\=dfrac{A(3x+1)+B(x-1)}{(x-1)(3x+1)}=dfrac{3Ax+A+Bx-B}{(x-1)(3x+1)}=dfrac{(3A+B)x+(A-B)}{(x-1)(3x+1)}$

$dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}=dfrac{(3A+B)x+(A-B)}{(x-1)(3x+1)}$

Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители:

$(3A+B)x+(A-B)=1$

Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях. Составим систему:

$begin{cases} 3A+B=0\ A-B=1 end{cases}$

Выразим из второго уравнения А:

$A=B+1$

Подставляем в первое и находим В:

$3(B+1)+B=0$

$3B+3+B=0$

$4B=-3$

$B=-dfrac{3}{4}$

Находим А:

$A=-dfrac{3}{4}+1=dfrac{1}{4}$

Сумма принимает вид:

$dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}=dfrac{1}{4}cdot dfrac{1}{x-1}-dfrac{3}{4}cdotdfrac{1}{3x+1}$

Значит, интеграл примет вид:

$intlimits dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=intdfrac{dx}{(x-1)(3x+1)}=dfrac{1}{4}intdfrac{dx}{x-1}-dfrac{3}{4}intdfrac{dx}{3x+1}$

Для второго слагаемого выполним приведение под знак дифференциала:

$intlimits dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=dfrac{1}{4}intdfrac{dx}{x-1}-dfrac{3}{4}cdotdfrac{1}{3} intdfrac{d(3x+1)}{3x+1}$

Интегрируем:

$intlimits dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=dfrac{1}{4}ln|x-1|-dfrac{3}{4}cdotdfrac{1}{3}ln|3x+1|+C$

Упрощаем:

$intlimits dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=dfrac{1}{4}ln|x-1|-dfrac{1}{4}ln|3x+1|+C$

Применим свойство логарифмов:

$intlimits dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=dfrac{1}{4}lnleft|dfrac{x-1}{3x+1}right|+C$