Question

integral (from 0 to infinity) [ exp(-x)*x^n ] (n is {0, 1, 2, 3,...})

Answer 1

$\ int_{0}^{+infty} x^n*e^{-x}{mathrm{d}x}=left [ u=x^n, {mathrm{d}u}=nx^{n-1}{mathrm{d}x}, {mathrm{d}v}=e^{-x}{mathrm{d}x}, v=-e^{-x} right ]=left langle u*v-int vdu right rangle= -x^n*e^{-x}|_{0}^{+infty}+nint_{0}^{+infty}x^{n-1}e^{-x}{mathrm{d}x}=...=n!$Интегрировать по частям нужно до тех пор, пока переменная х в интеграле не будет равна 1,потом под интегралом останется только e^(-x). В конце получается, что интеграл будет равен степени х.
Пример при n=2:
$\ int_{0}^{+infty} x^2*e^{-x}{mathrm{d}x}=left [ u=x^2, {mathrm{d}u}=2x{mathrm{d}x}, {mathrm{d}v}=e^{-x}{mathrm{d}x}, v=-e^{-x} right ]= -x^2*e^{-x}|_{0}^{+infty}+2int_{0}^{+infty}xe^{-x}{mathrm{d}x}=left [ u=x, {mathrm{d}u}={mathrm{d}x}, {mathrm{d}v}=e^{-x}{mathrm{d}x}, v=-e^{-x} right ]=-lim_{xrightarrow +infty}x^2*e^{-x}+2left ( -xe^{-x}+int_{0}^{+infty}e^{-x}{mathrm{d}x} right )=0+2*left ( -lim_{xrightarrow +infty}x*e^{-x} right-int_{0}^{+infty}e^{-x}{mathrm{d}(-x)})=2*0-2*(-lim_{xrightarrow +infty}e^{-x}-1)=-2*(0-1)=2$