Question

Имея в виду табличные интегралы:



$1T). int{dx} = x + C ;$

$2T). int{x^n} , dx = frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C ; n neq -1 ;$

$3T). int{ frac{dx}{x} } = ln{|x|} + C ;$

выведем ещё один:

учтём, что:

$dx^2 = 2xdx ; Rightarrow 2xdx = dx^2 ; Rightarrow \\ Rightarrow int{ f(x) } , xdx = frac{1}{2} int{ f(x) } , 2xdx = frac{1}{2} int{ f(x) } , dx^2 ;$

тогда:

$int{ frac{x}{ x^2 pm a } } , dx = frac{1}{2} int{ frac{ 2xdx }{ x^2 pm a } } = frac{1}{2} int{ frac{ dx^2 }{ x^2 pm a } } = frac{1}{2} int{ frac{ d( x^2 pm a ) }{ x^2 pm a } } = frac{1}{2} ln{ | x^2 pm a | } + C ;$



Итак:

$1T). int{dx} = x + C ;$

$2T). int{x^n} , dx = frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C ; n neq -1 ;$

$3T). int{ frac{dx}{x} } = ln{|x|} + C ;$

$4T). int{ frac{x}{ x^2 pm a } } , dx = frac{1}{2} ln{ | x^2 pm a | } + C ;$



Возьмём интеграл:

$int{ d ( arcCtg{x} ) } = arcCtg{x} + C ;$

$int{ d ( sh{x} ) } = sh{x} + C ;$



Возьмём интеграл:

$int{ ( (x-3)^5 - (5-x)^3 ) } , dx = int{ (x-3)^5 } , d(x-3) + int{ (x-5)^3 } , d(x-5) = \\ = frac{ (x-3)^6 }{6} + frac{ (x-5)^4 }{4} + C ;$

Проверим:

$( frac{ (x-3)^6 }{6} + frac{ (x-5)^4 }{4} + C )'_x = ( frac{ (x-3)^6 }{6} )'_x + ( frac{ (x-5)^4 }{4} )'_x = \\ = 6 cdot frac{ (x-3)^{6-1} }{6} + 4 cdot frac{ (x-5)^{4-1} }{4} = (x-3)^5 - (5-x)^3 ;$



Возьмём интеграл:

$int{ frac{dx}{ (x+11)^4 } } = int{ (x+11)^{-4} } , d(x+11) = \\ = frac{ (x+11)^{-4+1} }{ -4+1 } + C = - frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C ;$

Проверим:

$( - frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C )'_x = (-3) cdot ( - frac{1}{ 3 (x+11)^{3+1} } ) = frac{1}{ (x+11)^4 } ;$



Возьмём интеграл:

$int{ frac{2dx}{7x+1} } = 2 int{ frac{dx}{7x+1} } = frac{2}{7} int{ frac{d(7x)}{7x+1} } = frac{2}{7} int{ frac{d(7x+1)}{7x+1} } = frac{2}{7} ln{|7x+1|} + C ;$

Проверим:

$( frac{2}{7} ln{|7x+1|} + C )'_x = frac{2}{7} cdot frac{1}{7x+1} cdot 7 = frac{2}{7x+1} ;$



Возьмём интеграл:

$int{ frac{5xdx}{3x^2-2} } = frac{5}{2} int{ frac{2xdx}{3x^2-2} } = frac{5}{2} int{ frac{dx^2}{3x^2-2} } = \\ = frac{5}{6} int{ frac{d3x^2}{3x^2-2} } = frac{5}{6} int{ frac{d(3x^2-2)}{3x^2-2} } = frac{5}{6} ln{ | 3x^2-2 | } + C ;$

Проверим:

$( frac{5}{6} ln{ | 3x^2-2 | } + C )'_x = frac{5}{6} cdot frac{1}{3x^2-2} cdot 3 cdot 2x = frac{5x}{3x^2-2} ;$





З А Д А Н И Е:

Найти неопределённый (обычный) интеграл и

проверить его дифференцированием (взять проиводную, кроме 1-ого номера):


$1a). int{ d ( arcsin{x} ) } ;$

$1b). int{ d|x| } ;$

$1c). int{ d ln{ arctg{x} } } ;$


$2a). int{ ( 8x^3 - 12(2-x)^5 ) } , dx ;$

$2b). int{ ( 28(37-x)^{111} - 19(3+x)^{37} ) } , dx ;$


$2c). int{ frac{6dx}{ (x-12)^3 } } ;$

$2d). int{ frac{12dx}{ (19-x)^7 } } ;$


$3a). int{ frac{3dx}{ 9-2x } } ;$

$3b). int{ frac{2dx}{ 3x-7 } } ;$


$4a). int{ frac{4xdx}{ 2x^2-5 } } ;$

$4b). int{ frac{11xdx}{ 7x^2+6 } } ;$

$4c). int{ frac{3xdx}{ (3x)^2-2 } } ;$

Answer 1

$1a). int d(arcsin x)=arcsin x+C\\ 1b). int d|x|=|x|+C\\ 1c). int dln arctan x=ln (arctan x)+C$


$2a). int (8x^3-12(2-x)^5)dx=int 8x^3dx-int 12(2-x)^5dx=\\ =8int x^3dx+12int(2-x)^5d(2-x)=8cdot frac{x^4}{4}+ frac{12(2-x)^6}{6}+C=\\ =2x^4+2(2-x)^6+C$

Проверка:

$(2x^4+2(2-x)^6)'=8x^3+2cdot6cdot(-1)cdot(2-x)^5cdot=8x^3-12(2-x)^5$


$2b). int(28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37})dx= \\ \\ = int28(37-x)^{111}dx-int19(3+x)^{37}dx= \\ =-28int(37-x)^{111}d(37-x)-19int(3+x)^{37}d(3+x)=\\=frac{-28(37-x)^{112}}{112}- frac{19(3+x)^{38}}{38}+C=\\=-frac{(37-x)^{112}}{4}- frac{(3+x)^{38}}{2}+C=\\=-frac{1}{4}(37-x)^{112}-frac{1}{2}(3+x)^{38}+C$

Проверка:

$(-frac{1}{4}(37-x)^{112}-frac{1}{2}(3+x)^{38})'=\\=-frac{1}{4}((37-x)^{112}})'- frac{1}{2}((3+x)^{38})'=\\=-frac{1}{4}cdot 112cdot(-1)cdot(37-x)^{111}- frac{1}{2}cdot38cdot1cdot(3+x)^{37}=\\ =28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37}$



$2c). int frac{6dx}{(x-12)^3} =6int(x-12)^{-3}d(x-12)=6cdot frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- frac{3}{(x-12)^2} +C$

Проверка:


$(- frac{3}{(x-12)^2} )'=-3cdot((x-12)^{-2})'=-3cdot(-2)cdot(x-12)^{-3}= frac{6}{(x-12)^3}$



$2d). int frac{12dx}{(19-x)^7}=12int (19-x)^{-7}dx=\\=-12int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12cdot frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= frac{2}{(19-x)^6}+C$

Проверка:

$( frac{2}{(19-x)^6})'=2cdot((19-x)^{-6})'=2cdot(-6)(-1)cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= frac{12}{(19-x)^7}$



$3a). int frac{3dx}{9-2x} =3int frac{dx}{9-2x} =- frac{3}{2} int frac{d(9-2x)}{9-2x}=- frac{3}{2}ln|9-2x|+C$

Проверка:

$- frac{3}{2}(ln|9-2x|)'=- frac{3}{2}cdot(-2)cdot frac{1}{9-2x}= frac{3}{9-2x}$



$3b). int frac{2dx}{3x-7}=2int frac{dx}{3x-7}= frac{2}{3} int frac{d(3x-7)}{3x-7}= frac{2}{3}ln|3x-7|+C$

Проверка:

$( frac{2}{3}ln|3x-7|)'= frac{2}{3}cdot3cdot frac{1}{3x-7}= frac{2}{3x-7}$


$4a). int frac{4xdx}{2x^2-5}= frac{4}{2}int frac{2xdx}{2x^2-5}=2int frac{dx^2}{2x^2-5}= frac{2}{2}int frac{d2x^2}{2x^2-5} =int frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=\\ =ln |2x^2-5|+C$

Проверка:

$(ln |2x^2-5|)'= frac{1}{2x^2-5} cdot 4x= frac{4x}{2x^2-5}$


$4b). int frac{11xdx}{7x^2+6}= frac{11}{2}int frac{2xdx}{7x^2+6}= frac{11}{14} int frac{d7x^2}{7x^2+6}= frac{11}{14}int frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= frac{11}{14}ln |7x^2+6|+C$

Проверка:

$( frac{11}{14}ln|7x^2+6| )'= frac{11}{14}cdot(ln|7x^2+6|)'cdot(7x^2+6)'= frac{11}{14}cdot14xcdot frac{1}{7x^2+6}=\\ = frac{11x}{7x^2+6}$



$4c). int frac{3xdx}{(3x)^2-2}= frac{3}{2}int frac{2xdx}{9x^2-2}= frac{3}{2} int frac{dx^2}{9x^2-2}= frac{3}{2}cdot frac{1}{9}int frac{d9x^2}{9x^2-2}=\\ = frac{1}{6}int frac{d(9x^2-2)}{9x^2-2}= frac{1}{6}ln|9x^2-2|+C$

Проверка:

$( frac{1}{6}ln|9x^2-x|)'= frac{1}{6}(ln|9x^2-2|)'cdot(9x^2-2)'= frac{1}{6}cdot18xcdot frac{1}{9x^2-2}= frac{3x}{ 9x^2-2}$