Question

Геометрия. Движения. 2 задачи.

Answer 1

Рассмотрим общий случай, когда поворот осуществляется на угол 0°<α<90°
Так как поворот - это движение, сохраняющее расстояние, то расстояние от начала координат до движущейся точки будет постоянное - значит точка движется по окружности радиуса R. Из точки А опустим перпендикуляры ОХ - на ось х и ОY - на ось у. Рассмотри треугольник ОАХ:
$\cos \alpha = \frac{OX}{OA} = \frac{x}{R} \Rightarrow x=R\cos \alpha \\\ \sin \alpha = \frac{AX}{OA} = \frac{OY}{OA} = \frac{y}{R} \Rightarrow y=R\sin \alpha$
В нашем случае изначально точка имела координаты (1; 0), значит:
$R= \sqrt{1^2+0^2} =1$
Тогда формулы для координаты точки после ее поворота на угол α примут вид:
$x=\cos \alpha \\\ y=\sin \alpha$
Если α=30°, то:
$x=\cos30= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\\ y=\sin30= \frac{1}{2}$
Если α=45°, то:
$x=\cos45= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\\ y=\sin45= \frac{\sqrt{2} }{2}$
Если α=60°, то:
$x=\cos60= \frac{1 }{2} \\\ y=\sin60= \frac{\sqrt{3} }{2}$

Из соображений симметрии видно что угол β (90°<α<180°) по сравнению с углом (180-α) имеет равные ординаты, но противоположные абсциссы.
Если угол поворота 90°<α<180°, то используем формулы приведения:
$\sin(180- \alpha )=\sin \alpha \\\ \cos(180- \alpha )=-\cos \alpha$
Если α=120°, то:
$x=\cos120=\cos(180-60)=-\cos60=- \frac{ 1 }{2} \\\ y=\sin120=\sin(180-60)=\sin60= \frac{\sqrt{3} }{2}$
Если α=150°, то:
$x=\cos150=\cos(180-30)=-\cos30=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \\\ y=\sin150=\sin(180-30)=\sin30= \frac{1 }{2}$

Также, из соображений симметрии видно что угол α (0°<α<180°) по сравнению с углом (-α) имеет равные абсциссы, но противоположные ординаты.
Если угол поворота 0°<α<180°, то используем формулы:
$\sin(- \alpha )=-\sin \alpha \\\ \cos(- \alpha )=\cos \alpha$
Если α=-30°, то:
$x=\cos(-30)=\cos30= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\\ y=\sin(-30)=-\sin30= -\frac{1}{2}$
Если α=-45°, то:
$x=\cos(-45)=\cos45= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\\ y=\sin(-45)=-\sin45=- \frac{\sqrt{2} }{2}$
Если α=-60°, то:
$x=\cos(-60)=\cos60= \frac{1 }{2} \\\ y=\sin(-60)=-\sin60=- \frac{\sqrt{3} }{2}$
Если α=-120°, то:
$x=\cos(-120)=\cos120=- \frac{ 1 }{2} \\\ y=\sin(-120)=-\sin120=- \frac{\sqrt{3} }{2}$
Если α=-150°, то:
$x=\cos(-150)=\cos150=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \\\ y=\sin(-150)=-\sin150=- \frac{1 }{2}$