Question

Где ошибки в 13 и 15?

Answer 1

13. В решении потерян второй корень.

$cos(2x)+5sqrt3sin x+8=0\1-2sin^2x+5sqrt3sin x+8=0\-2sin^2x+5sqrt3sin x+9=0~~~|cdot(-1)\2sin^2x-5sqrt3sin x-9=0$

Квадратное уравнение относительно переменной   sin x

$D=(5sqrt3)^2-4cdot2cdot(-9)=75+72=147=(7sqrt3)^2\\1)~sin x=dfrac{5sqrt3-7sqrt3}4=dfrac{-2sqrt3}4=-dfrac{sqrt3}2\\~~boldsymbol{x_1=-dfrac{pi}3+2pi n;~~~x_2=-dfrac{2pi}3+2pi k;~n,k in mathbb Z}\\2)~sin x=dfrac{5sqrt3+7sqrt3}4=dfrac{12sqrt3}4=3sqrt3~~>1,~~xin varnothing$

В заданный интервал $Big[-dfrac{5pi}2;-piBig]$ попадает только один корень x₁  при   n=-1 (см. рис)

$x_1=-dfrac{pi}3+2picdot(-1)=-dfrac{pi}3-dfrac{6pi}3=-dfrac{7pi}3$

Ответ : б) $boldsymbol{x=-dfrac{7pi}3}$ ;

а) $boldsymbol{x_1=-dfrac{pi}3+2pi n;~~~x_2=-dfrac{2pi}3+2pi k;~n,k in mathbb Z}$

==========================================

15. В решении НЕЛЬЗЯ умножать неравенство на выражение с переменной, так как неизвестно, какой знак имеет это выражение. При умножении на отрицательное число знак неравенства нужно менять на противоположный. А в данном неравенстве скобка (x+2) находится ПОД логарифмом, это часть аргумента логарифмической функции, избавиться от знаменателя простым умножением невозможно.

$log_{frac 13}(18-6x)leq log_{frac 13}(x^2-8x+15)-log_{frac 13}(x+2)$

ОДЗ : 1) 18 - 6x > 0;   6x < 18;   x < 3;  x ∈ (-∞; 3)

          2) x + 2 > 0;   x > -2;   x ∈ (-2; +∞)

          3) x² - 8x + 15 > 0;  (x - 5)(x - 3) > 0;   x∈(-∞;3)∪(5;+∞)

ОДЗ : x ∈ (-2; 3)

$log_{frac 13}(18-6x)+log_{frac 13}(x+2)leq log_{frac 13}(x^2-8x+15)\log_{frac 13}Big((18-6x)(x+2)Big)leq log_{frac 13}(x^2-8x+15)\\frac 13<1~~~Rightarrow~~~(~leq~rightarrow~geq~) \\(18-6x)(x+2)geq x^2-8x+15\18x-6x^2+36-12x-x^2+8x-15geq0\-7x^2+14x+21geq0~~~~~|:(-7)~Rightarrow~(~geqrightarrowleq~)\x^2-2x-3leq0\(x-3)(x+1)leq0\-1leq xleq 3$

С учётом ОДЗ (см. рис):

Ответ : x ∈ [-1; 3)