Question

функцию z =f(x.y) исследовать на экстремум

Answer 1

Определяю функцию двух переменных:
$f(x,y):=-2x^2+8x-y^3+6xy-14$

Нахожу стационарные точки (необходимое условие наличия экстремума):
$nabla f(x,y)=(-4x+8+6y,-3y^2+6x)$
Необходимое условие: $(x,y)$ - стационарная точка $Leftrightarrow nabla f(x,y)=(0,0)$

Другими словами: обе частных производных должны равнятся нулю. Получили систему уравнений с двумя неизвестными:
$left { {{-4x+8+6y=0} atop {-3y^2+6x=0}} right.$
Решаю систему:
$left { {{-4x+8+6y=0} atop {-3y^2+6x=0}} right. Rightarrow left { {{2x=3y+4} atop {2x=y^2}} right.$
$-y^2+3y+4=0 Rightarrow y_1=-1 y_2=4 Rightarrow x_1=frac{1}{2}, x_2=8$
Стационарные точки: $(frac{1}{2},-1), (8,4)$

Определяю Гессиан:
$H(x,y)=left(begin{array}{cc}-4&6\6&-6yend{array}right)$

Условие экстремума: если $det(H|_{(x,y)}) textgreater 0$ - есть экстремум.
Более того, если $(H)_{1,1} textgreater 0$ - получен минимум
$(H)_{1,1} textless 0$ - получен максимум.

Вариант $det(H|_{(x,y)})=0$ - ответа не даёт, нужно искать другой способ проверки для данной точки

Если $det(H|_{(x,y)}) textless 0$ - экстремума нет.

В ншем случае, детерминант гессиана:
$det(H|_{(frac{1}{2},-1)})=-60 textless 0$
$det(H|_{(8,4)})=60 textgreater 0 wedge (H)_{1,1}=-4<0  Rightarrow Local maxima$

Ответ: одна точка экстремума $(8,4)$ - локальный максимум.