Question

Функция f(x+iy) = u(x,y)+iv(x, y) является аналитической. Найти и(х, у), если ѵ(x, y) = x²+y-1-y2.



Срочнооо!!!!! Пожалуйста помогите

Answer 1

Для того чтобы функция f(x+iy) была аналитической, необходимо выполнение условий Коши-Римана:

1. ∂u/∂x = ∂v/∂y
2. ∂u/∂y = -∂v/∂x

Из условия 1 получаем:

∂u/∂x = 2x = ∂v/∂y

Из условия 2 получаем:

∂u/∂y = -2y = -(-∂v/∂x) = ∂v/∂x

Теперь мы можем найти u(x, y) используя первое уравнение:

u(x, y) = ∫(2x)dx = x^2 + g(y)

где g(y) - произвольная функция от y.

Теперь найдем частную производную u(x, y) по y и приравняем ее к -2y, чтобы найти g(y):

∂u/∂y = g'(y) = -2y
g(y) = -y^2 + C

где C - произвольная постоянная.

Итак, мы нашли u(x, y):

u(x, y) = x^2 - y^2 + C

Теперь можем записать функцию f(x+iy):

f(x+iy) = x^2 - y^2 + C + ix^2 + xy - i

Таким образом, функция f(x+iy) равна:

f(x+iy) = (x^2 - y^2 + C) + i(x^2 + xy - 1)

Таким образом, мы нашли u(x, y) и v(x, y):

u(x, y) = x^2 - y^2 + C
v(x, y) = x^2 + xy - 1

где C - произвольная постоянная.