Question

f(x)=(x-2)^2*√x
Найти производную функции, точки экстремума и промежутки убывания и возрастания.

Answer 1

$f(x)=(x-2)^2 sqrt{x} \f'(x)=((x-2)^2)' sqrt{x} +(x-2)^2( sqrt{x} )'$
Мы воспользовались формулой 
$f(x)=g(x)h(x)\f'(x)=(g(x))'h(x)+g(x)(h(x))'$
$f'(x)=((x-2)^2) sqrt{x} +(x-2)^2( sqrt{x} )'\f'(x)=2(x-2) sqrt{x} +(x-2)^2* frac{1}{2 sqrt{x} }\f'(x)=0\2(x-2) sqrt{x} +(x-2)^2* frac{1}{2sqrt{x} } =0\(x-2)(2sqrt{x} + frac{x-2}{2sqrt{x} })=0\(x-2)* frac{5x-2}{2sqrt{x} } =0\x-2=0\x=2\ frac{5x-2}{2sqrt{x} }=0 \5x-2=0\x= frac{2}{5}$
Оба корня подходят ,так как наше ОДЗ было x>0 ,так как на 0 делить нельзя 
Нашли экстремумы ,теперь max и min
Нужно на прямой определить знаки ,для этого мы сначала подставим 3
$2(3-2)sqrt{3}+(3-2)^2* frac{1}{2sqrt{3} } =2sqrt{3} + frac{1}{2sqrt{3} } textgreater 0$
Следовательно первый знак с право на лево будет "+"
теперь подставим 1
$2(1-2)sqrt{1} +(1-2)^2* frac{1}{2sqrt{1} } =-2+ frac{1}{2} =-1,5$
Следовательно на интервале от 2/5 до 2 будет "-"
Подставляем 0,1
$2(0,1-2)(x-2)^2 sqrt{0,1}+(0,1-2)^2* frac{1}{2(x-2)^2 sqrt{0,1}} =-3,8(x-2)^2 sqrt{0,1}\+( frac{19}{10} )^2* frac{1}{ frac{2}{(x-2)^2 sqrt{10}} } =- frac{19}{5sqrt{10} }+ frac{361sqrt{10} }{200} = frac{57sqrt{10} }{40} textgreater 0$
Знак "+" поставим на интервале от -∞ до 0,4
И получаем ,что точка max находится в 0,4
Точка min находится в 2