Question

f(x)=(x²-1)/(x²+1)
Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума. Пожалуйста помогите решить...​

Answer 1

$f(x) = dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$

Определим производную функции по формуле: $f'bigg(dfrac{v}{u} bigg) = dfrac{v'u - u'v}{u^{2}}$

$f'(x) = dfrac{(x^{2} - 1)'(x^{2}+1) - (x^{2}+1)'(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} =\\= dfrac{2x(x^{2}+1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} = dfrac{2x(x^{2}+1 - x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} = dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$

Определим критические точки, приравняв к нулю значение производной:

$dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}} = 0$

$D(f'(x)): (x^{2}+1)^{2}neq 0; x in mathbb{R}$

$4x = 0; x = 0$

Определим промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (выбираем из каждого промежутка какое-нибудь число и подставляем его в производную, и проверяем её знак):

$- text{min} + \------- circ------> x\. searrow 0 nearrow$

Итак,

1) функция возрастает на промежутке $x in (0; + infty)$

2) функция убывает на промежутке $x in (-infty; 0)$

3) $x_{text{min}} = 0; y_{text{min}} = -1$

Для нахождения $y_{text{min}}$ мы подставляем значение $x_{text{min}}$ в значение функции.

Ответ:

1) функция возрастает на промежутке $x in (0; + infty)$

2) функция убывает на промежутке $x in (-infty; 0)$

3) $x_{text{min}} = 0; y_{text{min}} = -1$