Question

f(x)=4sinх-3cosx найти E(f)

Answer 1

Воспользуемся методом вспомогательного аргумента, что бы преобразовать функцию F(x):

$F(x)= frac{5}{5}(4sin(x)-3cos(x))=5[frac{4}{5}sin(x)- frac{3}{5}cos(x)]$

теперь для $frac{4}{5}$ и $frac{3}{5}$
выполняется $( frac{4}{5}) ^2+ (frac{3}{5})^2=1$
пусть теперь $frac{4}{5}=cos( alpha )$ и $frac{3}{5}=sin( alpha )$
$cos^2( alpha )+sin^2( alpha )=1$

Имеем нашу функцию: $F(x)=5(sin(x)cos( alpha )-cos(x)sin( alpha ))=5sin(x- alpha )=$
$=5sin(x-arcsin( frac{4}{5} ))=5sin(t)$

$-1 leq sin(t) leq 1|*5$
$-5 leq 5sin(t) leq 5$
$-5 leq F(x) leq 5$

$E(F(x))in[-5;5]$

Если же подразумевалось, E(f(x)) таким образом, что 
$f(x)=F'(x)$
то имеем: $f(x)=(4sin(x)-3cos(x))'=4cos(x)+3sin(x)=$
$=5( frac{4}{5}cos(x)+frac{3}{5}sin(x))=5(cos(x)cos( beta )+sin(x)sin( beta ))=$
$=5cos(x- beta )=5cos(x-arccos( frac{4}{5} ))=5cos(u)$

$-1 leq cos(u) leq 1|*5$
$-5 leq 5cos(u) leq 5$
$-5 leq f(x) leq 5$

$E(f(x))in[-5;5]$

Ответ: $E(f(x))in[-5;5]$