Question

Есть редкое заболевание, которое встречается у 1% населения. Есть тест, который дает положительный результат на 99% больных людей и ложный положительный результат на 2% здоровых людей. Тест показывает положительный результат на пациента. Какова вероятность того, что у пациента нет заболевания?

Answer 1

Назовем событие $A$ — человек здоров, событие $B$ — болен, событие $A^*$ — здоров согласно результатам теста, $B^*$ — болен согласно результатам теста. Нам требуется определить величину $P(A|B^{*})$.

По теореме Байеса: $P(A|B^*)=\frac{P(B^*|A)P(A)}{P(B^*)}$.

При этом $P(A)=0,99$, $P(B)=0,01$, $P(B^*|A)=0,02$.

Вероятность того, что обследование показало, что человек болен, то есть $P(B^*)$, складывается из двух вероятностей: человек болен и это показало обследование и человек здоров, и имеет место ложноположительный результат. То есть $P(B^*)=0,01\times0,99+0,99\times 0,02=0,0297$. Итак, $P(A|B^*)=\frac{0,02\times0,99}{0,0297}=\frac{2}{3}$