Question

Если в множестве А 49 элементов, то каких его подмножеств больше: с четным числом элементов или с нечетным?

Answer 1

Если некоторое множество содержит $n$ элементов, то оно имеет $C_n^k$ подмножеств, содержащих $k$ элементов, так как для такого подмножества нужно выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка, и это можно сделать $C_n^k$ способами.

Отметим, что любое множество имеет в качестве подмножества пустое множество (множество, содержащее 0 элементов) и само себя (то есть множество, содержащее столько же элементов):

$\varnothing\subset A;\ A\subset A$

Тогда, число подмножеств 49-элементного множества, содержащих нечетное число элементов:

$N_1=C_{49}^1+C_{49}^3+C_{49}^5+\ldots+C_{49}^{47}+C_{49}^{49}$

А число подмножеств 49-элементного множества, содержащих четное число элементов:

$N_2=C_{49}^0+C_{49}^2+C_{49}^4+\ldots+C_{49}^{46}+C_{49}^{48}$

Запишем одно из свойств чисел сочетаний:

$C_n^k=C_n^{n-k}$

Значит:

$C_{49}^1=C_{49}^{48};\ C_{49}^3=C_{49}^{46};\ C_{49}^5=C_{49}^{44};\ \ldots;\ C_{49}^{47}=C_{49}^2;\ C_{49}^{49}=C_{49}^0$

Иными словами, слагаемые суммы $N_2$ - это слагаемые суммы $N_1$, записанные в обратном порядке. Естественно, такие суммы равны.

Значит, множество, состоящее из 49 элементов, имеет одинаковое число подмножеств, состоящих из четного числа элементов и состоящих из нечетного числа элементов.

Ответ: число тех и других подмножеств совпадает