Два десятизначных числа из различных цифр назовём братскими, если их сумма является числом из одинаковых цифр. Сколько пар братских чисел?
Ответы на вопрос
Ответ:
1451520
Пошаговое объяснение:
Заметим, что сумма цифр 10-значного числа из различных цифр кратна 9. Это означает, что и само число кратно 9. Следовательно, сумма двух 10-значных чисел кратна 9. Рассмотрим два варианта возможных сумм: сумма длины 10 и сумма длины 11.
Если сумма длины 11, то она получена путем переноса единицы при сложении в старший 11-й разряд. Тогда число обязано состоять из 11 единиц. Но оно не делится на 9, поэтому не подходит.
Если сумма длины 10, то сумма цифр этого числа должна быть кратна 9. Это возможно только того, когда сумма двух чисел равна 9999999999.
Возьмем любое 10-значное число из разных цифр. Если его вычесть из нашей суммы 9999999999, то получится также 10-значное число из разных цифр. Осталось посчитать, сколько всего таких чисел есть, при условии, что в двух братских числах в 10-м старшем разряде не должен стоять 0. Затем результат следует разделить на 2, так как пары чисел (a, b) и (b, a) считаются одинаковыми.
На 10-й разряд можно поставить цифры от 1 до 8. На оставшиеся 9 разрядов можно поставить оставшиеся 9 цифр любым способом. Поэтому число способов это сделать равно 8*9! Разделим это на 2 и получим ответ 4*9!=1451520