Question

Доведіть , що значення виразу є раціональним числом

Answer 1

Ответ:

Обозначим заданное выражение буквой А .

$A=\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}$  

Возведём это выражение в куб, применив формулу

 $\bf (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab\, (a-b)$   .

Получим

$A^3=\\\\=(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)-3\, \sqrt[3]{6\sqrt3+10}\cdot \sqrt[3]{6\sqrt3-10}\cdot (\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3+10})=\\\\=20-3\, \sqrt[3]{(6\sqrt3+10)(6\sqrt3-10)}\cdot (\underbrace{\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}}_{A})=\\\\=20-3\sqrt[3]{108-100}\cdot A=20-3\cdot \sqrt[3]{8}\cdot A=20-3\cdot 2A=\bf 20-6A$

Получили равенство:   $A^3=20-6A\ \ \ \Rightarrow \ \ \ A^3+6A-20=0$  .

Это кубическое уравнение легко решить , так как корень находится подбором. При подстановке значения А=2 в равенство получаем 0. Значит левая часть равенства делится нацело на разность (А-2) .

$A^3+6A-20=(A-2)(A^2+2A+10)$

Квадратный трёхчлен  $A^2+2A+10$  действительных корней не имеет , так как его дискриминант отрицательный:  $D=2^2-4\cdot 10=-36 < 0$  . Поэтому далее разложение на множители невозможно .

Получили, что  $\bf A=2$  - действительное число, оно является  и рациональным тоже .

$\bf \sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}=2$