Question

Доведіть, що при всіх допустимих а значення виразу не залежить від а

Answer 1

Завдання:

Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної значення виразу  $\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \bigg(\dfrac{a+21}{a^{2}-8a+16}-\dfrac{a+3}{16-a^{2} }\bigg)$ не залежить від значення a.​

Розв'язання:

$\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \bigg(\dfrac{a+21}{a^{2}-8a+16}-\dfrac{a+3}{16-a^{2} }\bigg)=$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \bigg(\dfrac{a+21}{(a-4)^{2}}+\dfrac{a+3}{a^{2}-16 }\bigg)=$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \bigg(\dfrac{{\overset{a+4/}{\big{}}}a+21}{(a-4)(a-4)}+\dfrac{{\overset{a-4/}{\big{}}}a+3}{(a-4)(a+4)}\bigg)=$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \dfrac{(a+4)(a+21)+(a-4)(a+3)}{(a-4)(a-4)(a+4)} =$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \dfrac{a^{2}+21a+4a+84+a^{2}+3a-4a-12}{(a-4)(a-4)(a+4)} =$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \dfrac{2a^{2}+24a+72}{(a-4)(a-4)(a+4)} =$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\bigg(\dfrac{a-4}{a+6} \bigg)^{2} \cdot \dfrac{2(a^{2}+12a+36)}{(a-4)(a-4)(a+4)} =$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\dfrac{(a-4)^{2} }{(a+6)^{2} } \cdot \dfrac{2(a+6)^{2}}{(a-4)^{2}(a+4)} =$

$=\dfrac{3a+14}{a+4} -\dfrac{2}{a+4} =\dfrac{3a+14-2}{a+4}=\dfrac{3a+12}{a+4}=\dfrac{3(a+4)}{a+4}=3$

Результатом спрощення даного раціонального виразу є число, тому вираз не залежить від значення змінної, що і треба було довести.

#SPJ1