Question

Доведіть, що дане рівняння є рiвнянням кола, і вкажіть координати центра та радіус цього кола:
х²+ y²-2x-4y-7 = 0​

Answer 1

Уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,$ где $(a;b)$ - центр окружности, $R$ - ее радиус. Нам требуется доказать, что это уравнение окружности. Нужно найти координаты центра и радиус окружности. Решаем. $x^2+y^2-2x-4y-7=0.$ Для удобства сгруппируем слагаемые: $\bigg(x^2-2x\bigg)+\bigg(y^2-4y\bigg)-7=0.$ Применим формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$ ⇒  $(x^2-2x+\underbrace{\boxed1)-\boxed{1}} _0 +(y^2-4y+\underbrace{\boxed4)-\boxed4} _0-7=0\Leftrightarrow\\(x-1)^2+(y-2)^2=7+4+1\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=12.$

Тогда центром окружности является точка O$(1;2), R=\sqrt{12} =\sqrt{4*3} =2\sqrt{3} .$ Ответ: $\boxed{O(1;2),R=2\sqrt{3} } .$