Доведіть, що чотирикутник АBCD - паралелограм , якщо А(-2; -1) B(0;2) C(5;2), D(3;-1)
Ответы на вопрос
Ответ:
Для того щоб довести, що чотирикутник ABCD - паралелограм, потрібно переконатися, що протилежні сторони паралельні і мають однакову довжину.
Для цього перевіримо вектори, утворені сторонами чотирикутника.
Вектор AB можна обчислити, віднявши координати точки A від координати точки B:
AB = (0 - (-2), 2 - (-1)) = (2, 3)
Вектор BC:
BC = (5 - 0, 2 - 2) = (5, 0)
Вектор CD:
CD = (3 - 5, -1 - 2) = (-2, -3)
Вектор DA:
DA = (-2 - 3, -1 - 2) = (-5, -3)
Тепер ми можемо перевірити, чи є протилежні сторони паралельними. Для цього досить переконатися, що вектори AB і CD паралельні та мають однакову довжину, і вектори BC і DA також паралельні та мають однакову довжину.
AB і CD паралельні, оскільки вони мають однакові напрямки (вектор (2, 3)).
BC і DA паралельні, оскільки вони мають однакові напрямки (вектор (-5, -3)).
Також варто переконатися, що сторони мають однакову довжину:
Довжина AB = √((2^2) + (3^2)) = √(4 + 9) = √13
Довжина CD = √((-2^2) + (-3^2)) = √(4 + 9) = √13
Довжина BC = √((5^2) + (0^2)) = √(25) = 5
Довжина DA = √((-5^2) + (-3^2)) = √(25 + 9) = √34
Отже, протилежні сторони AB і CD мають однакову довжину √13, і протилежні сторони BC і DA мають однакову довжину √34.
Отже, ми довели, що чотирикутник ABCD - паралелограм, оскільки його протилежні сторони паралельні та мають однакову довжину.