Question

Дослідити та побудувати графік функції.
Прошу вас))

Answer 1

Ответ:

1.   D(y) = x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2.   функция нечетная.

3.    ось Оу не пересекает; ось Ох пересекает в точках (-2; 0) и (2; 0);

4.    x = 0 - вертикальная асимптота;    $\displaystyle\bf y=\frac{1}{16}x$   - наклонная асимптота.

5.    функция возрастает на промежутках: (-∞; 0), (0; +∞).

Точек экстремумов нет.

6.   функция вогнута на промежутке (-∞; 0),

функция выпукла на промежутке (0; +∞).

Точек перегиба нет.

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle\bf y=\frac{x^2-4}{16x}$

1. Область определения функции.

Знаменатель не равен нулю.

16х ≠ 0   ⇒   х ≠ 0

D(y) = x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle\bf y(-x)=\frac{(-x)^2-4}{16\cdot(-x)}=-\frac{x^2-4}{16x}$

y(-x) = -y(x)   ⇒   функция нечетная.

3. Пересечение с осями.

х ≠ 0   ⇒   ось Оу не пересекает;

у = 0   ⇒   (х - 2)(х + 2) = 0

х = ±2

⇒ ось Ох пересекает в точках (-2; 0) и (2; 0)

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота:

$\displaystyle\bf \lim_{n \to 0} \frac{x^2-4}{16x} = \pm\infty$

⇒   x = 0 - вертикальная асимптота;

Наклонная асимптота у = kx + b.

$\displaystyle\bf k= \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{n \to \infty} \frac{x^2-4}{16x^2}= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2} }{\frac{16x^2}{x^2} } =\frac{1}{16}$

$\displaystyle\bf b= \lim_{n \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2-4}{16x}-\frac{x}{16}\right)= \lim_{n \to \infty} \frac{x^2-4-x^2}{16x} =0$

⇒   $\displaystyle\bf y=\frac{1}{16}x$   - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание, точки экстремума.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle\bf y'=\frac{(x^2-4)'\cdot16x-(x^2-4)\cdot(16x)'}{256x^2} =\\\\=\frac{2x\cdot 16x-(x^2-4)\cdot16}{256x^2} =\frac{16(2x^2-x^2+4)}{256x^2} =\\\\=\frac{x^2+4}{16x^2}$

Числитель положителен при любом значении х.

Не забываем про х ≠ 0.

Отметим точку на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$+++(0)+++$

Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

⇒   функция возрастает на промежутках: (-∞; 0), (0; +∞)

Точек экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем вторую производную.

$\displaystyle\bf y''=\frac{(x^2+4)'\cdot 16x^2-(x^2+4)\cdot (16x^2)'}{256x^4}=\\ \\=\frac{2x\cdot16x^2-(x^2+4)\cdot32x}{256x^4} =\frac{32x(x^2-x^2-4)}{256x^4} =\\\\=-\frac{4}{8x^3} =-\frac{1}{2x^3}$

x ≠ 0

Отметим точку на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$+++(0)---$

Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

⇒ функция вогнута на промежутке (-∞; 0),

функция выпукла на промежутке (0; +∞)

Точек перегиба нет.

Строим график.