Question

Дослідити функцію та побудувати її графік: / Исследуйте функцию и постройте ее график:

$a) \( y = x + \frac{2}{x} \)b) \( y = xe^{-x} \)$

Answer 1

Ответ:

a) y=x+2

Досліджуємо функцію y=x+2:

1. Графік функції y=x+2 - це пряма лінія у декартовій системі координат, з коефіцієнтом нахилу 1 та зсувом угору на 2 одиниці.

2. Точки перетину з вісями координат:

- Перетин з X: при x=0, y=2. Точка (0,2)

- Перетин з Y: при y=0, x=-2, Точка (-2,0)

Графік функції y=x+2:

```plaintext

|

4 |-----

|

2 | /

| /

0 | /

| /

-2 |/

|________________________

-2 0 2 4 6 8 10

```

6) y = xe^-x

Досліджуємо функцію y=xe^-x:

1. Знайдемо похідні, щоб з'ясувати, як змінюються зростання та спадання функції.

y' = (x)'*e^(-x) + x*(e^(-x))' = e^(-x) - x*e^(-x) = e^(-x)(1-x)

Значення похідної y' вказує на те, що функція зростає коли 1-x>0, тобто x<1 і спадає в інших випадках.

2. Точка відноситься до функції y=xe^-x, де значення xбільше 0.

Обрані точки: (0,0), (1, 0.37), (2, 1.47), (3, 1.1).

3. Запишемо таблицю для зручності побудови графіка.

x | y

-----------

0 | 0

1 | 0.37

2 | 1.47

3 | 1.1

Графік функції y=xe^-x:

```plaintext

|

2 | --ˍ*

| * *

1 | ***

|

|

0 |*

| *

|

-1 |

|_______*____

1 2 3

```

Графік показує, що функція спочатку збільшується, досягає максимуму при x≈1, а потім зменшується.