Допоможіть будь ласка!!!!
Розв’яжіть лінійне рекурентне співвідношення:
a_(n+1) =10a_n - 9a_(n-1) , a0 = 0, a1 =1
(n+1), n та (n-1) це індекси а
Ответы на вопрос
Ответ:
a_n = (1/8) * 9ⁿ - (1/8) * 1ⁿ
Пошаговое объяснение:
a_(n+1) = 10a_n - 9a_(n-1)
Характеристичне рівняння має вигляд:
r² = 10r - 9
Перепишемо його у вигляді:
r² - 10r + 9 = 0
Тепер знайдемо корені цього рівняння. Ми можемо використовувати квадратне рівняння для цього:
(r - 9)(r - 1) = 0
Звідси ми маємо два корені:
r₁ = 9
r₂ = 1
Отже, характеристичне рівняння має два корені: r₁ = 9 і r₂ = 1.
Тепер ми можемо записати загальний вираз для a_n в такому вигляді:
a_n = A * r₁ⁿ + B * r₂ⁿ
Де A і B - це константи, які ми повинні знайти. Використовуючи початкові умови, a₀ = 0 і a₁ = 1, ми можемо створити систему лінійних рівнянь для знаходження A і B.
Підставимо a₀ і a₁ у вираз:
a₀ = A * 9⁰ + B * 1⁰ = A + B = 0
a₁ = A * 9¹ + B * 1¹ = 9A + B = 1
Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. З першого рівняння ми можемо виразити B:
B = -A
Підставимо це у друге рівняння:
9A - A = 1
8A = 1
A = 1/8
Тепер знаючи значення A, ми можемо знайти B:
B = -1/8
Таким чином, ми знайшли значення констант A і B, і можемо записати загальний вираз для a_n:
a_n = (1/8) * 9ⁿ - (1/8) * 1ⁿ
Це є розв'язком лінійного рекурентного співвідношення задачі.