Question

Допоможіть будь ласка
1)Знайдіть похідну функції y(x). що задана неявно рівнянням

$x^{4}+y^{3} +sin x=0$

2)Знайдіть похідну функції y(x). що параметрично

$\left \{ {{y=\frac{2}{t} } \atop {x=sint}} \right.$

(тільки х зверу, а у знизу)

3)Знайти рівняння дотичної та номалі до графіка функції y= f(x) у точці абсцисою x_{0}

$y=\frac{x^{2} }{x^{2}+1 } , x_{0} =-3$

Answer 1

Ответ:

1. $\displaystyle \bf y'=-\frac{4x^3+cosx}{3y^2}$

2. $\displaystyle \bf y'(x)=-\frac{2}{t^2cost}$

3. $\displaystyle \bf y_k=-0,06x+0,72$;

$\displaystyle \bf y_n=\frac{50}{3}x+50,9$.

Объяснение:

1. Найти производную функции у(х), которая задана неявно уравнением:

$\displaystyle x^4+y^3+sinx=0$

Так как у является функцией от х, то будем рассматривать у³ как сложную функцию от х.

$\displaystyle 4x^3+3y^2\cdot y'+cosx=0\\\\3y^2\cdot y'=-4x^3-cosx\\\\y'=\frac{-4x^3-cosx}{3y^2}$

$\displaystyle \bf y'=-\frac{4x^3+cosx}{3y^2}$

2. Найдите производную функции y (x), заданную параметрически.

$\displaystyle \left \{ {{x=sint} \atop {y=\frac{2}{t} }} \right.$

Формула производной для функции, заданной параметрически:

$\boxed {\displaystyle \bf y'(x)=\frac{y'(t)}{x'(t)} }$

Найдем x'(t) и y'(t):

$\displaystyle x'(t)=cost\\ \\ y'(t)=-\frac{2}{t^2}$

$\displaystyle \bf y'(x)=-\frac{2}{t^2cost}$

3. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции y= f(x) в точке абсциссой x₀.

$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+1} ,\;\;\;\;\;x_0=-3$

Найдем производную:

$\displaystyle y'=\frac{(x^2)'\cdot (x^2+1)-x^2\vdot(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} =\frac{2x\cdot(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\\\\=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2} =\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

Найдем значение функции и ее производной в точке x₀ = -3.

$\displaystyle y(-3)=\frac{9}{9+1 }=\frac{9}{10}=0,9$

$\displaystyle y'(-3)=\frac{-6}{(9+1)^2}=-\frac{6}{100} =-0,06$

Уравнение касательной:

$\boxed {\displaystyle \bf y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)}$

$\displaystyle y_k=0,9+(-0,06)(x-(-3))=0,9-0,06(x+3)=\\ \\=0,9-0,06x-0,18=-0,06x+0,72$

Получили уравнение касательной:

$\displaystyle \bf y_k=-0,06x+0,72$

Уравнение нормали:

$\boxed {\displaystyle \bf y_n=y(x_0)-\frac{1}{y'(x_0)} (x-x_0)}$

$\displaystyle y_n=0,9-\frac{1}{-0,06} \cdot(x-(-3))=0,9+\frac{100}{6} (x+3)=\\\\=0,9+\frac{50x}{3} +50=\frac{50}{3}x+50,9$

Получили уравнение нормали:

$\displaystyle \bf y_n=\frac{50}{3}x+50,9$

#SPJ1