Question

Докажите теорему синусов

Answer 1

Доказательство теоремы синусов.

 

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

 

 

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем:

 

a=2R sin 

 

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

 

 

Теорема синусов доказана.

Answer 2

нормально???

Answer 3

Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, CA=b.

Докажем, что a/sinA=b/sinB=c/sinC

По теореме о площади треугольника

S=1/2ab*sinC, S=1/2bc*sinA, S=1/2ca*sinB

Из первых двух равенств получаем: 1/2ab*sinC=1/2bc*sinA, откуда a/sinA=c/sinC. Точно так же из второго и третьего равенств следует, a/sinA=b/sinB. 

Итак, a/sinA=b/sinB=c/sinC. Теорема доказана