Question

Докажите тавтологии: A→(B→A); (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)); ( A→B)→(¬A→B)→B)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Доказать тавтологию - значит показать, что при всех истинностных значениях булевых переменных логическое выражение будет принимать только значение ИСТИНА.

Для первого логического выражения составляем таблицу (F - ЛОЖЬ, T - ИСТИНА):

$\left[\begin{array}{cccc}A&B&B\to A&A\to(B\to A)\\F&F&T&T\\F&T&F&T\\T&F&T&T\\T&T&T&T\end{array}\right]$

Видно, что последний столбец, соответствующий заданному логическому выражению, состоит только из значений ИСТИНА при любом наборе булевых переменных.

Для второго логического выражения также составляем таблицу:

$\left[\begin{array}{ccccccccccc}A&B&C&A\to B&A\to C&(A\to B)\to (A\to C)&B\to C& A \to (B\to C)&Func\\F&F&F&T&T&T&T&T&T\\F&F&T&T&T&T&T&T&T\\F&T&F&T&T&T&F&T&T\\F&T&T&T&T&T&T&T&T\\T&F&F&F&F&T&T&T&T\\T&F&T&F&T&T&T&T&T\\T&T&F&T&F&F&F&F&T\\T&T&T&T&T&T&T&T&T\end{array}\right]$

Видно, что последний столбец, соответствующий заданному логическому выражению, состоит только из значений ИСТИНА при любом наборе булевых переменных.

Таблица для третьего логического выражения:

$\left[\begin{array}{ccccccccccc}A&B&A\to B&\lnot A\to B&(\lnot A\to B)\to B&(A\to B)\to ((\lnot A\to B)\to B) \\F&F&T&F&T&T\\F&T&T&T&T&T\\T&F&F&T&F&T\\T&T&T&T&T&T\end{array}\right]$

Видно, что последний столбец, соответствующий заданному логическому выражению, состоит только из значений ИСТИНА при любом наборе булевых переменных.