Question

Докажите, что значение выражения есть число рациональное:

Answer 1

$frac{1}{1-3sqrt{5} }+frac{1}{1+3sqrt{5} }=frac{1+3sqrt{5}+1-3sqrt{5}}{(1-3sqrt{5})(1+3sqrt{5})}=frac{2}{1^{2} -(3sqrt{5})^{2}} =frac{2}{1-45}=-frac{2}{44}=-frac{1}{22}$

Answer 2

Домножим первую дробь на (1+3√5)
А вторую на (1-3√5) , чтобы избавиться иррациональности в знаменателе
$frac{1 + 3 sqrt{5} }{(1 - 3 sqrt{5}){(1 + 3 sqrt{5} )} } + frac{1 - 3 sqrt{5} }{(1 + 3 sqrt{5})(1 - 3 sqrt{5} ) }$
Получили общий знаменатель, который мы свернем в формулу
$frac{1 + 3 sqrt{5} + (1 - 3 sqrt{5)} }{1 - {3}^{2} times sqrt{5} times sqrt{5} } = frac{2}{1 - 9 times 5} = frac{2}{ - 44}$
$= - frac{1}{22}$
Число рациональное