Докажите, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ. Сформулируйте и докажите отбратное утверждение.
Ответы на вопрос
Ответ:
1. Доказано, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ.
2. Доказано, что каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
Объяснение:
Докажите, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
- Прямая перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину называется серединным перпендикуляром.
1. Дано: АВ - отрезок;
АС = СВ; СК ⊥ АВ.
Доказать: АК = КВ.
Доказательство:
Рассмотрим ΔАКС и ΔСКВ - прямоугольные.
КС - общая,
АС - СВ (по условию)
⇒ ΔАКС = ΔСКВ (по двум катетам)
- В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
⇒ АК = КВ.
- Все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ.
2. Сформулируем обратное утверждение:
- Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
Дано: АВ - отрезок.
АМ = МВ;
СК - серединный перпендикуляр.
Доказать: М ∈ СК.
Доказательство:
Соединим точки М и С.
Рассмотрим ΔАМВ.
АМ = МВ (по условию)
⇒ ΔАМВ - равнобедренный.
АМ - медиана (построение)
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.
⇒ АМ - высота.
- Через точку С можно провести перпендикуляр к данной прямой, причем только один.
⇒ СМ и СК совпадают ⇒ М ∈ СК.
Что и требовалось доказать.
#SPJ1
