Question

Докажите,что
$sin( alpha + beta ) < cos( alpha ) + cos( beta )$
если
$0 < alpha < frac{pi}{2 }$
$0 < beta < frac{pi}{2}$

Answer 1

Используем формулу: синус суммы

sin(a+b) ≡ sin(a)*cos(b) + sin(b)*cos(a).

т.к.

0<a<π/2,

0<b<π/2.

то sin(a), cos(a), sin(b), cos(b) - положительны, кроме того.

sin(a)<1, домножаем это на cos(b)>0,

1) sin(a)*cos(b)<cos(b).

аналогично

sin(b)<1, домножаем на cos(a)>0,

2) sin(b)*cos(a)<cos(a),

складываем 1) и 2)

sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a) < cos(b)+cos(a),

левая часть последнего тождественно равна sin(a+b), поэтому

sin(a+b) < cos(a)+cos(b).

Answer 2

Ответ на картинке внизу страницы