Question

Докажите, что
$displaystyle sin(arctan x)=frac{x}{sqrt{1+x^2}};\ tan (arccos x)=frac{sqrt{1-x^2}}{x}$

Answer 1

1) Пусть arctanx = α, тогда x = tanα, нужно найти sin(arctanx) = sinα.
$1+tan^{2} alpha = frac{1}{cos^{2} alpha }$
$1+tan^{2} alpha = frac{1}{1 - sin^{2} alpha }$
выразим отсюда sinα:
$sin^{2} alpha = 1 - frac{1}{1 + tan^{2} alpha }$
$sin alpha = sqrt{1 - frac{1}{1+tan^{2} alpha } } = sqrt{ frac{tan^{2} alpha }{1+tan^{2} alpha }} = frac{tan alpha }{ sqrt{1+tan^{2} alpha } } = frac{x}{ sqrt{1+x^{2}} }$ что и т.д.

2) Пусть arcсosx = α, тогда x = cosα, нужно найти tan(arccosx) = tanα.
$1+tan^{2} alpha = frac{1}{cos^{2} alpha }$
$tan^{2} alpha = frac{1}{cos^{2} alpha } - 1$
$tan alpha = sqrt{frac{1}{cos^{2} alpha } -1}$
$tan alpha = sqrt{frac{1}{cos^{2} alpha } -1} = sqrt{frac{1 - cos^{2} alpha }{cos^{2} alpha }} = {frac{ sqrt{1 - cos^{2} alpha }}{cos alpha }} = {frac{ sqrt{1 - x^{2}}}{x}}$ что и т.д.