Question

Докажите,что произведение квадрата натурального числа на натуральное число,предшествующее этому квадрату,делится на 12.

Answer 1

Представим натуральное число в виде 2n и 2n+1

В случае 2n получаем:
$(2n)^{2} *((2n)^{2}-1)=(2n)^{2} *(2n-1)*(2n+1)$
$(2n)^{2}=4n^{2}$ делится на 4
(2n)*(2n-1)*(2n+1) делится на 3
соответственно число делится на 12

В случае 2n+1 получаем:
$(2n+1)^{2} *((2n+1)^{2}-1)=(2n+1)^{2} *(2n)*(2n+2)$
$(2n+1) *(2n)*(2n+2)$ делится на 3
$(2n)*(2n+2)=4n(n+1)$ делится на 4
соответственно число делится на 12