Question

Докажите,что при произвольном натуральном числе n 3^²n+¹+2^n+² делиться без остачи на 7 ДАЮ 70 БАЛЛОВ!!!​

Answer 1

Ответ:

1) через сравнение по модулю:

$3^{2n+1} + 2^{n+2} = 3 * 3^{2n} + 4 * 2^n = 3 * 9^n + 4 * 2^n$

Если исходное выражение делится без остатка на 7, то выполняется:

$(3 * 9^n + 4 * 2^n) \ mod \ 7 \equiv 0$

Действительно:

$(3 * 9^n + 4 * 2^n) \ mod \ 7 \equiv 3 * 9^n \ mod \ 7 + 4 * 2^n \ mod \ 7 \equiv 3 * 2^n \ mod \ 7 + 4 * 2^n \ mod \ 7 \equiv (3 * 2^n + 4 * 2^n) \ mod \ 7 \equiv 7 * 2^n \ mod \ 7 \equiv 0$

2) по индукции:

$3^{2n+1} + 2^{n+2} = 3 * 3^{2n} + 4 * 2^n = 3 * 9^n + 4 * 2^n$

1) база индукции: при n = 1:

$3 * 9^1 + 4 * 2^1 = 3 *9 + 4* 2 = 27 + 8 = 35$

при n = 1 исходное выражение делится на 7

2) шаг индукции: пусть при n выражение делится на 7, тогда и при n + 1 выражение должно делится на 7:

$3 * 9^{n+1} + 4 * 2^{n+1} = 3 * 9*9^n + 4 * 2*2^n = 27*9^n + 8*2^n = 6*9^n + 8*2^n + 21 *9^n = 2(3*9^n + 4*2^n) + 21 *9^n$

$2(3*9^n + 4*2^n)$ - делится на 7 по условию шага индукции

$21 *9^n = 3 * 7 * 9^n$ - делится на 7

Значит пункт 2) выполняется

Так как пункты 1) 2) выполняются, то исходное выражение делится на 7 при любом натуральном n.

Answer 2

1. Проверяем истинность утверждения для n = 1.

$3^{2\cdot 1+1}+2^{1+2}=3^{2+1}+2^3=3^3+8=27+8=35=7\cdot 5$

2. Предполагаем, что истинно для n = k (k - произвольное натуральное число).

$3^{2k+1}+2^{k+2}=7m\\\\3^{2k+1}=7m-2^{k+2}$

3. Доказываем, что истинно, для n = k + 1.

$3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2}=3^{2k+2+1}+2^{k+2+1}=\\\\3^{2k+1}\cdot 3^2+2^{k+2}\cdot 2= (7m-2^{k+2})\cdot 9+2^{k+2}\cdot 2=\\\\7\cdot 9m-9\cdot 2^{k+2}+2\cdot 2^{k+2}2=7\cdot 9m-7\cdot 2^{k+2}=7\cdot (9m-2^{k+2})$