Question

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n^7-n кратно 42

Answer 1

Представим данное выражение в виде
$n^7-n=n(n^6-1)=n((n^3)^2-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=\\ =n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)$. Так как среди любых трех последовательных целых чисел по крайней мере одно делится на 2 и одно на 3, то при любых целых n число $n(n+1)(n-1)$ делится на $2\cdot3=6.$ Следовательно, число $n^7-n$ делится на 6, если n - любое число.

Докажем, что $n^7-n$ делится на 7, если n - натуральное число. Для начала исследуем методом математической индукции
1. При $n=1$ имеем $1^7-1=0$ - кратное 7.
2. Допустим, что $n^7-n$ делится на 7 при каком-нибудь произвольном натуральном $n=k$, т.е. $k^2-k$ кратно 7.
3. Докажем, что $n^7-n$ делится на 7 и при $n=k+1.$
$(k+1)^7-(k+1)=k^7+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k+1-k-1=\\ =(k^7-k)+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k.$

Первое слагаемое кратно 7 по допущению второго пункта, а второе слагаемое кратно 7, так как на 7 делятся все его слагаемые, следовательно, $(k+1)^7-(k+1)$ картно 7, если n - натуральное число.