Алгебра, вопрос задал yugolovin , 7 лет назад

Докажите, что если x>0, y>0, то $\lim\limits_{a\to 0}\left(\frac{x^a+y^a}{2}\right)^{1/a}=\sqrt{xy}.$

amanda2sempl: lim f(X) = exp (lim ln f(X)) ⇒ LIM(a -> 0) = exp[lim (a -> 0) ln((xᵃ + yᵃ)/2)^(1/a)] = exp[lim (a -> 0) 1/a * ln((xᵃ + yᵃ)/2) ] = (применяем правило Лопиталя) = exp[lim (a -> 0) (ln((xᵃ + yᵃ)/2))' / a' ] = exp[lim (a -> 0) 2(xᵃlnx + yᵃlny)/2(xᵃ + yᵃ)) / 1 ] = exp[lim (a -> 0) (xᵃlnx + yᵃlny)/(xᵃ + yᵃ))] = exp[(lnx + lny)/(1 + 1)] = exp[ln(xy)/2] = exp[ln(√x√y)] = √x√y

yugolovin: А почему решение Вы пишете в комментариях? Если не напишете нормально, задача через какое-то время исчезнет со всеми комментариями

Ответы на вопрос

Ответил amanda2sempl

Заметим, что при указанных условиях функция F(a) = $(\frac{x^{a} + y^{a} }{2})^{1/a}$ является непрерывной и дифференцируемой. Тогда ∧ = $\lim_{a \to \ 0} F(a)$ =

exp(ln[ $\lim_{a \to \ 0} F(a)$ ]) = exp(lim(a→0)ln[ $( \frac{x^{a} + y^{a} }{2})^{1/a}$ ]) = exp(lim(a→0) $\frac{1}{a}$ · ln[ $\frac{x^{a} + y^{a} }{2}$ ]). При a→0 возникла неопределенность вида ноль на ноль:

ln[(x⁰ + y⁰)/2]/0 = ln1/0 = 0/0 ⇒ дифференцируем по правилу Лопиталя числитель и знаменатель дроби $\frac{ ln\frac{x^{a} + y^{a} }{2} }{a}$ по переменной а;

da/da = 1, d(ln(xᵃ + yᵃ):2)/da = $\frac{2}{x^{a} + y^{a} }$ · $\frac{x^{a}lnx + y^{a}lny }{2}$ = $\frac{x^{a}lnx + y^{a}lny }{x^{a} + y^{a} }$ ⇒

∧ = exp(lim(a→0)[ $\frac{x^{a}lnx + y^{a}lny }{x^{a} + y^{a} }$ ]) = (подставляем а = 0, ибо неопределенность исчезла) = exp( $\frac{lnx + lny}{2}$ ) = exp(0,5·ln(xy)) = exp(ln $\sqrt{xy}$ ) = $\sqrt{xy}$