Question

докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n!<=((n+1)/2)^n

Answer 1

Требуется доказать, что для всех натуральных n

$n! leq left(frac{n+1}{2}right)^n$

1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.
При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.

2) Левая часть $a_n=n!$ при переходе от $a_n$ к $a_{n+1}$ увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть $b_n=left(frac{n+1}{2}right)^2$ при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что

$frac{b_{n+1}}{b_n}=frac{left(frac{n+2}{2}right)^{n+1}}{left(frac{n+1}{2}right)^n} textgreater n+1.$

Упрощая, приводим это неравенство к 

$(n+2)^{n+1} textgreater 2(n+1)^{n+1}$.

Заменив n+1 на k, получаем неравенство

$(k+1)^k textgreater 2k^k,$

причем $k geq 2.$

Используя бином Ньютона, получаем

$k^k+kcdot k^{k-1}+ldots= k^k+k^k+ldots=2k^k+ldots textgreater 2k^k.$

Неравенство доказано.