Математика, вопрос задал nziltzov , 8 лет назад

докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n!<=((n+1)/2)^n

Ответы на вопрос

Ответил yugolovin
0
Требуется доказать, что для всех натуральных n

n! leq left(frac{n+1}{2}right)^n

1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.
При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.

2) Левая часть a_n=n! при переходе от a_n к a_{n+1} увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть b_n=left(frac{n+1}{2}right)^2 при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что

frac{b_{n+1}}{b_n}=frac{left(frac{n+2}{2}right)^{n+1}}{left(frac{n+1}{2}right)^n} textgreater  n+1.

Упрощая, приводим это неравенство к 

(n+2)^{n+1} textgreater  2(n+1)^{n+1}.

Заменив n+1 на k, получаем неравенство

(k+1)^k textgreater  2k^k,

причем k geq 2.

Используя бином Ньютона, получаем

k^k+kcdot k^{k-1}+ldots= k^k+k^k+ldots=2k^k+ldots  textgreater  2k^k.

Неравенство доказано.
Новые вопросы