Question

докажите,  что четырехугольник с вершинами Е(-2 ; 0), F(2;2), М(4;-2) и N(0;-4) является квадратом.
Помогите прошу очень срочно!!!!!! пожалуйста!!!!!

Answer 1

Вектор EF имеет координаты (2-(-2); 2-0) = (4; 2). Его длина
$|EF|=sqrt{4^2+(2)^2}=sqrt{16+4}=sqrt{20}$
Вектор FM имеет координаты (4-2; -2-2) = (2; -4). Его длина
$|FM|=sqrt{(2)^2+(-4)^2}=sqrt{4+16}=sqrt{20}$
Вектор MN имеет координаты (0-4; -4-(-2)) = (-4; -2). Его длина
$|MN|=sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=sqrt{16+4}=sqrt20$
Вектор NE имеет кооординаты (-2-0; 0-(-4)) = (-2; 4). Его длина
$|NE|=sqrt{(-2)^2+(4)^2}=sqrt{4+16}=sqrt{20}$
Все стороны четырёхугольника равны. Найдём углы между ними:
$cosE=frac{bar{EF}cdotbar{NE}}{|EF|cdot|NE|}=frac{4cdot(-2)+2cdot4}{sqrt{20}cdotsqrt{20}}=frac{-8+8}{20}=0Rightarrow E=90^o$
$cosF=frac{bar{EF}cdotbar{FM}}{|EF|cdot|FM|}=frac{4cdot2+2cdot(-4)}{sqrt{20}cdotsqrt{20}}=frac{8-8}{20}=0Rightarrow F=90^o$
$cosM=frac{bar{MN}cdotbar{FM}}{|MN|cdot|FM|}=frac{(-4)cdot2+(-2)cdot(-4)}{sqrt{20}cdotsqrt{20}}=frac{-8+8}{20}=0Rightarrow M=90^o$
$cosN=frac{bar{MN}cdotbar{NE}}{|MN|cdot|NE|}=frac{(-4)cdot(-2)+(-2)cdot4}{sqrt{20}cdotsqrt{20}}=frac{8-8}{20}=0Rightarrow N=90^o$
Все стороны равны, угол между сторонами прямой. Значит, EFMN - квадрат.