Доказать неравенство a^4-b^4≥a^3b+ab^3,где a≤0, b≤0
Ответы на вопрос
Данное неравенство выполняется не всегда !
Пусть a=b= -1 0>= (-1)^3*(-1) + (-1)*(-1)^3=2 0>=2 (неверно)
Найдем промежуток на котором данное неравенство выполнено.
Cравним :
a^4-b^4 >= a^3b +a*b^3
Рассмотрим случай : a<0 ; b<0
a^2*b^2 >=0
Тогда можно поделить обе части неравенства на a^2*b^2 не меняя знак неравенства на противоположный.
a^2/b^2 -b^2/a^2 >= a/b +b/a
Пусть : a/b=t
Поскольку : a<0 и b<0 , то a/b = t>0
t^2 -(1/t)^2 >= t + 1/t
(t -1/t)*(t+1/t) v t+1/t
t+1/t > 0 (поэтому на него можно поделить не меняя знак )
t>0 (поэтому на него можно умножить не меняя знак )
t-1/t >=1
t^2-t-1>=0
D= 1+4=5
(t -(1+√5)/2 )* ( t -(1-√5)/2)>=0
То есть верно только для тех a и b отношение которых принадлежит интервалу :
t∈ (-беск ; (1-√5)/2 ) v ( (1+√5)/2 ; +беск )
Вывод: скорее всего это ошибка .
Думаю имелось в виду такое неравенство
a^4+b^4 >= a^3b +a*b^3
Докажем его:
a^4 -a^3*b +b^4 -a*b^3>=0
a^3*(a-b) -b^3*(a-b) >=0
(a^3-b^3)*(a-b)>=0
(a-b)^2* (a^2+b^2+ab)>=0
тк a<=0 и b<=0 , то a*b>=0
Тогда , учитывая неотрицательность квадратов :
(a-b)^2>=0
a^2+b^2>=0
a^2+b^2+ab>=0
Таким образом :
(a-b)^2* (a^2+b^2+ab)>=0
Что и требовалось доказать.