Question

доказать, что $n^{5}- 5n^{3}+4n$ при всяком целом n делится на 120

Answer 1

Разложим многочлен на множители
$n^{5}-5 n^{3}+4n=n( n^{4} -5 n^{2} +4)= n(n^{4} -4 n^{2} - n^{2}+4)=\ n(n^{2} ( n^{2} -4)-1( n^{2} -4))=n(( n^{2}-1) ( n^{2}-4))=\ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$
Итого, получили 5 последовательных сомножителей, таких, что
n-2<n-1<n<n+1<n+2
При n=0, n=1, n=-1, n=2, n=-2
$n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)=0$
При остальных n, значение многочлена будет всегда кратно 120, так как произведение 5 последовательных чисел будет оканчиваться на 0, а следовательно делится на 120